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1、第二章 传感器技术基础 -基本特性与指标,理想传感器和传感器的误差因素 传感器的一般数学模型 传感器的静、动态特性 传感器的互换性及其他特性要求,1. 理想传感器应具有的特点 1） 传感器只敏感特定输入量，输出只对应特定输入； 2） 传感器的输出量与输入量呈惟一、稳定的对应关 系，最好为线） 传感器的输出量可实时反映输入量的变化。 实际中，传感器在特定的、具体的环境中使用，其 结构、元器件、电路系统和各种各样的环境因素均可能会影响 传感器的整体性能。,2.1 理想传感器和传感器的误差因素,影响传感器性能的因素,传感器误差 通过传感器得到的测量值与被测量的真值之差。 传感器的误差来源： 1
2、)介入误差 源于敏感元件的介入对被测系统的 环境能够造成影响。 2)应用误差 源于使用者对具体传感器原理的认 识不足或设计缺陷。 3)特性参数误差 源于传感器本身的特性参数； 生产传感器和用户考虑最多的误差。 4)动态误差 源于被测参数变化时传感器反应滞后 5)环境误差 各种各样的环境参数变化均可能带来误差,1静态模型 静态时（输入量对时间t的各阶导数为零），可分析非线性系统，即有： x 输入量； y 输出量； a0 传感器的零位误差； a1 传感器的灵敏度，常用K或S表示。 a2,a3,an待定常数（非线 传感器的一般数学模型,数学模型用于研究传感器的输出输入特性。一般将检测静态
3、量和动态量时的特性分开考虑。 原因：检测静态量、动态量的传感器，需要以带随机变量的非线性 微分方程作为数学模型，但造成数学分析困难。,最理想的特性。 优点：简化传感器的理论分析、计算，为标定和数据处理带来很大方便， 避免非线性补偿环节，便于后续制作安装、调试，提高测量精度。,(a),(b),(c),2动态模型 传感器静态特性好，并不一定能很好地反映输入量随时间变化尤 其是快速变化的状况，可能因此而存在严重的动态误差。 传感器动态分析常用的数学模型有时域的微分方程和对应频域 的传递函数、频率响应函数以及状态方程。 线性系统的特点（叠加性、频率保持性）使得动态分析只分析线、 采用微分方程描述传感器：,2）传递函数 用拉氏变换将适当的数学模型（微分方程）转换成复数域（S域）的数学模型，可得相应的传递函数，以便于求解。 由控制理论知，对上式所表示的传感器，其传递函数为,式中Y(s)、X(s)是初始条件为零时，输出和输入信号的拉氏变换。 用途：表征传感器的传输、转换特性。它只与传感器内部参数有 关，与输入信号及传感器的初始状态无关。当输入为正弦信号，且传 感器稳定时，可用j代替s。,对多环节组成的串联或并联组成的传感器或系统，如果各环节阻 抗匹配适当，求总的传递函数可略去相互间的影响。 对于n个环节组成的串联系统: 对于n个环节组成的并联系统：,2.3.1. 静态特性
5、与指标,一线性度 表征传感器输入-输出的实际静态标定（校准）曲线与所选参考（拟合）直线（作为工作直线）之间的吻合（或偏离）程度。 所选拟合直线不同，计算出的线性度数值不同。选择拟合直线应保 证所得非线性误差尽量小，且方便使用与计算。 常用拟合方法: 1理论线性度： 按系统的理论特性确定，与实测值无关。 特点：简单方便，但通常估算值偏大。 非线性误差： 线性度常用引用误差表示： 式中， 输出平均值曲线与基准拟合直线间的最大误差； 理论满量程输出值。 *标定？,2.3 传感器的静、动态特性,2端基线性度 以校准数据的零点输出平均值和满量程输出平均值连成的直线为 参考直线所得的线性度 式中， -满量
6、程输出平均值； -零点输出平均值。 特点:简单，但估计值偏大，零点不为零 3最小二乘线性度 按最小二乘法原理拟合直线，使该直线与传感器 或系统的校准数据的残差平方和最小。 思路： 设拟合直线方程为 得偏差： 式中，i=1,2,n.（n为测试点数） 直线拟合原则：应使 为最小值。由 分别对k和b求一阶导数，并令其为0，即可求得k和b。,图 端基线性度,图 最小二乘线性度,具体方法*： 由式（1），（2）化简得 （3）n，（4） 得,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（5）-（6）得 （3） ，（4） 得 （7）-（8）得,（7）,（8）,此外，拟合直线的斜率k和截距b也可由以下两式
7、求得： 式中 ， （推导从略） 特点：拟合精度高，在数据较多的情况下可由计算机处理，但其拟 合出的直线与标定曲线的最大偏差绝对值不一定最小，最大正负偏 差的绝对值也不一定相等 。例： 图中最小二乘拟合直线偏低，使 ， 从而使估计值偏大。,4最佳直线线性度（独立线性度） 以所谓“最佳直线”作拟合直线，以保证传 感器正反行程校准曲线对该直线的正负偏差相 等并且最小。图中： 特点：拟合精度最高。 通常，“最佳直线”可用图解法或通过计算 机解算来获得。 当标定曲线（或平均校准曲线）为单调曲 线，且测量上、下限处的正、反行程校准数据 的算术平均值相等时，“最佳直线”可采用端点连 线平移来获得，有时称该法
8、为端点平行线法。,图 最佳直线线性度,端点平行线法,二迟滞误差（回差） 传感器或检测系统的输入量由小增大（正行程），继而自大减小 （反行程）的测试过程中，对应于同一输入量，输出量往往有差别， 此现状称为迟滞。 产生原因：装置内的弹性元件、磁性 元件以及机械部分的摩擦、间隙、积塞 灰尘等。 迟滞大小常用全量程中最大迟滞 与满量程输出平均值 之比的百分数 （引用误差）表示： 式中， 为输出值在正反行程中的最大差值。,迟滞误差,三重复性误差（最大引用随机不确定度） 现象：多次重复测试时，在同是正行程或同是反行程中，对应同 一输入的输出量不同。 重复性：传感器或系统在同一工作条件下，输入量按同方向作
9、全 量程连续多次变动时，所得特性曲线之间的一致程度。 如果用曲线中最大重复差值定义重复性误差，则因标定的循环次 数不同使其最大偏差值不同。因此不可靠。 重复性误差为随机误差，可定义如下： 式中 为重复性误差； 各测量点极限误差的最大值 全部校准点正行程与反行程输出值的标准偏差中之最大值； k 置信系数。 说明：在校准时，若有m个校准点，正反行程共可求得2m个，应 取其中最大的 ，计算重复性误差。,标准偏差的计算方式* （1）贝赛尔公式法： 式中：yi是某校准点的输出值； 是输出值的算术平均值；n:测量次数。 （2）极差法： 极差：指某一校准点校准数据的最大值与最小值之差。 计算标准偏差的公式为
10、： 式中：Wn是极差；dn极差系数，其值与测量次数n有关，查表可得。 极差系数表 采用上述方法时，若有m个校准点，正反行程共可求得2m个，一般 取其中最大者计算重复性误差。,四灵敏度（K或S） 定义：输出量增量与被测输入量增量之比。 或 说明：1非线性系统的K不为常数，K用dy/dx表示； 2灵敏度不是越大越好，灵敏度越大，系统稳定性越差。 3有时用到相对灵敏度概念：输出变化量y与被测量的相对 变化率x/x之比： *灵敏度的单位问题：如何理解mV/V, V/V/mm？ 五分辨力 系统在规定测量范围内所能检测出输入量的最小变化量。 有时用该值相对满量程输入值之百分数表示，这时称为分辨率。 注意区
11、分： 分辨力：如1mV 分辨率：如0.1%,六量程 又称“满度值”，表征传感器或系统能承受最大输入量的能力，其数 值是测量系统示值范围上、下限之差的模。当输入量在量程范围以内 时，测量系统正常工作，并保证预定的性能。 七零位* 当输入量为零时，系统的输出量不为零的数值。零位值应从测量结 果中设法消除。 八阈值*（灵敏阈、灵敏限） 使输出端产生可测变化量的最小输入量，即零位附近的分辨力。 有时在零位附近有严重的非线性，形成所谓的“死区”，则可将死区的 大小作为阈值；更多情况下，阈值主要根据噪声大小，因而有时 只给出噪声电平即可。 比较： 分辨力-最小的可测输入变化量。阈值-最小的可测输入量。,
12、图 死区与噪声电平,九稳定性 又称长期稳定性，即传感器或系统在相当长时间内保 持其性能的能力。一般以室温条件下经过一规定的时间间 隔后，系统输出与起始标定时的输出之间的差异来表示， 有时也用标定的有效期来表示。 十漂移* 在一段时间间隔内，检测系统输出量存在着有与被 测输入量无关的，不需要的变化。 常用指标： 零点（零位）漂移；灵敏度漂移。 时漂（零点或灵敏度随时间变化）； 温漂（气温变化引起的漂移）。,十一. 静态误差（精确度） 满量程内系统任一点的输出相对其理论值的可能偏 离（逼近）程度属于评价静态性能的综合指标，表示 采用该传感器或系统作静态测量时所得数值的不确定 度。一般用方和根或代数
13、和法计算。 用重复性、线性度、迟滞三项的方和根或简单代数和表示： 或当一个传感器或测量系统模块设计完成并实际标定 后，人们有时以工业上仪表精度的定义给出其精度，也 即以最大引用误差来度量。,小结 基本功能特性 - 决定系统的工作上的能力 精度特性 - 决定系统在什么程度上能完成所要作的测量 衡量传感器基本功能特性的指标-量程（测量范围）、灵 敏度、分辨力（率）、动态范围（跨度与绝对分辨力之比）； 精度特性指标-线性度、重复性、迟滞、死区、漂移、稳 定性、精确度。,2. 3.2 动态特性,1传感器动态分析的特殊性* 测试动态被测量时，要求传感器不仅能精确测量被测信号幅值大小，还包括其随时间变化过程的波形
14、。 要求传感器：能迅速、准确和无失真地再现被测信号随时间变化的波形，使输出与输入随时间的变化一致，即良好的动态特性。 动态特性反映传感器对随时间变化的激励(输入)的响应(输出)特性。 实际传感器除有理想的比例特性环节外，还有阻尼、惯性环节，输出信号与输入信号没有完全相同的时间函数，这种输出与输入之差就是动态误差。动态误差越大，传感器动态性能越差。 动态特性研究内容：分析动态误差及产生原因，提出改善动态特性的措施。,2研究与分析传感器动态特性的方法 动态误差 之一：输出量达到稳定状态后与理想输出量之间的差值； 之二：当输入量跃变时，输出量由一个稳态到另一个稳 态之间的过渡状态中的误差。 动态特性
15、分析方法 时域：瞬态响应法；频域：频率响应法 实测时输入量千变万化，往往事先不知（或者以 时间函数表达被测动态信号的形式多种多样），工程上以 输入标准信号函数的方法来分析确立评定动态特性指标。 在进行时域分析时，只能分析传感器对特定输入时间 函数的响应，常用标准信号如阶跃函数等。 在频域分析时一般由正弦输入得到频率响应特性。,1）传递函数和频率响应函数* 任何周期信号均可用傅里叶级数表示，也即用各阶正 弦信号叠加表示。传感器对复杂周期输入的响应，可用对 正弦输入信号的响应特性表示。 当输入正弦信号的振幅在传感器的线性范围内，为方 便运算求解，传感器的输出可用传递函数H(s)求得。 由动态模
16、型微分方程可得H(s)的表达式为 式中Y(s)、X(s)初始条件为零的情况下，输出信号的 拉氏变换和输入信号的拉氏变换， 、 ； s+j拉氏变换的自变量。,传感器的传递函数表征了其传输、转换特性。它只与 传感器内部参数有关，而与输入信号及传感器的初始状态 无关。当输入为正弦信号，且传感器稳定时， =0，则 可用j代替s，则传递函数为 称为传感器的频率响应函数，简称频率响应或频率特性。,上式可用指数形式表示，即：H(j)= H(j)=A() 式中 AH(j)的模， 称A= H (j) = 为系统的幅频特性。 物理意义：输出信号幅值与输入信号的幅值之比相对于 信号频率的关系。 称H(j
17、)的相角， = arctan H(j) = arctan 为相频特性 。 物理意义：输出信号的相位与输入信号的相位之差相对 于信号频率的关系。 相频和幅频特性之间有一定的内在联系，主要用幅频 特性表相频特性和频域特性。,3.传感器典型环节的动态特性,动态响应也分为瞬态（阶跃信号）和稳态（正弦信号）响应。 传感器通常可视为零阶、一阶、二阶系统或它们组合成的系统。 1) 一阶系统的时域响应* 设一阶系统的稳态输出为 ，可得到瞬态响应 右图为阶跃响应曲线，根据此曲 线，可定义各项指标如下： (1) 时间常数 定义：输出量上升到稳态值的63.2% 所需的时间。 当t=0时，响应曲线、/。越小，系统响应越快， 稳定时间越短。,图 一阶系统的阶跃响应,(2) 响应时间ts *（调节时间，过渡过程时间） 在响应曲线上，系统输出达到一个允许误差范围的稳态值，并永 远保持在这一范围内所需的最小时间。 根据允许误差范围的不同有不同的响应时间： 可见， 越小，系统的响应时间越短。 (3)上升时间tr* 系统输出响应值从5%(或10%)到达95%(或90%)稳态值所需时间。 从5%95%： 从10%90%： tr不从0%开始计算，可避开阈值，易于确定起始位置。 tr与ts 的区别：ts：永远落在误差带； tr：第一次进入误差带。（在高阶系统中这两个概念不同）,(4)延迟时间* （一阶系统
19、）输出响应值达到稳态值的50%所需的时间： （t0.5 允许误差为50%的ts） 意义：当输入量不是严格的阶跃信号时，粗略地表征传输延迟量。,延迟时间,2) 二阶系统的时域响应*,的二阶系统在阶跃输入作用下的输出响应是单调曲线，其响 应指标可参考一阶系统定义。1的二阶系统的过渡过程存在振荡，其 时域指标除响应时间、上升时间或延迟时间外，还有： (1)峰值时间tp：输出达到第一个峰值所需时间，为阻尼振荡周期的一半： (2)超调量a 式中 y(tp)第一次超过稳态值的峰高。 (3)衰减率：衰减振荡型（ ）二 阶系统过渡过程曲线上相差一个周期T的 两个峰值之比。 4. 稳定误差em 无限长时间后传感
20、器的稳态输出值与目标值之差 的 相对值：em=( /yc)x100%,3) 典型系统的频域响应与指标,(1）零阶系统 数学表述： 传递函数： 式中K为静态灵敏度 频率响应函数： 零阶系统的输出和输入同步变化，无任何失真和延迟，是一种理 想检测系统，如位移电位器（在不考虑摩察因素时）、电子示波器等。 (2）一阶系统 数学表述 传递函数,静态灵敏度，,时间常数，决定工作频率范围。,例：工程实际中，一个忽略了质量的单自由度振动 系统，在施于A点的外力f(t)作用下，其运动方程为 频率响应函数:,（K=1, 归一化处理）,负值表示相角的滞后,一阶系统的频率特性： I.一阶系统是一个低通环节。仅当远小于
21、1/时，幅频响应才接近1， 因此一阶系统只适用于被测量缓慢或低频的参数。 II. 幅频特性降为原来的0.707（即-3dB)，相位角滞后45o ,时间 常数 决定了检测系统适应的工作频率范围。,幅频、相频特性,Bode图,Nyquist图,图 二阶系统的幅频特性,(3）二阶系统 数学表述 传递函数 频率响应函数 幅频、相频特性 静态灵敏度 , 系统固有频率 , 阻尼比,图 二阶系统响频特性,，( )= - arctan,二阶系统的频响特性主要根据系统的固有频率n和阻尼比。 当1为过阻尼。一般系统都工作于欠阻尼 状态。 考虑，设计传感器时，应使=0.60.8为宜。n/=510， 可得到较小
22、的动态误差。,根据二阶系统的频响可得频域指标*： 1带宽频率 对数幅频特性的dB值下降到频率为零时对数幅频特性以下-3dB时所 对应的频率称为带宽频率 。 2工作频率（0gi） gi：截止频率： 误差达到给定误差(1%,2%,5%,10%）时所对应的频率 （常用-3dB截止角频率）。 0gi:工作频带：输出不超过给定误差。 3谐振频率r 当 时所对应的频率。 4跟随角 当 时所对应于相频特性上的相角。 相位误差：在工作频带范围内，传感器的实际输出与所希 望的无失真输出间的相位差值，即为相位误差。,为理解二阶系统幅值误差和相位误差的概念，可参考下面例题。 例：一个二阶系统的力传感器，其固有频率n
23、=800rad/s，阻尼 =0.4，用它测量频率为=400rad/s的正弦变化力，求振幅误差及相 位偏移各为多少？若采用n=1000rad/s，=0.6的力传感器，测量结 果将有多大改善？ 解：二阶系统的传递函数与频率响应函数分别为 因此，二阶系统的幅频响应和相频响应分别为,将n=800rad/s，=0.4代入和的表达式中，得 即幅值误差为18%（振幅误差），相位滞后为28。 若改选传感器n=1000rad/s，=0.6，则有 即振幅误差降低为3%，相位滞后增为30（一般，相位误差对测量 结果无影响），故测量结果得到较大改善。,4） 动态响应指标实验确定方法* 传感器研制成功之后，必须经实验确
24、定性能指标；使用一段时 间或修改后，必须对其技术性能指标重新确定，即校准。 时域测定法 通过测量单位阶跃信号的响应确定传感器动态特性参数。 (1)一阶系统 以单位阶跃信号激励一阶系统得到系统的单位阶跃响应。 以输出达稳定值63.2时所经历时间得到的时间常数仅取决于 个别瞬时值，不涉及响应全过程，准确性较差。 可靠方法： 一阶系统单位阶跃响应：y (t)=1- 改写上式，两边取对数得： - t /= ln 1-y (t) = z 上式表明，ln1-y (t) 与t成线性关系。 根据测得的各时刻t所对应的y (t)，做出 ln1-y (t)-t曲线，根据曲线斜率值确定时间常数。,求一阶系统时间常数
25、,(2)二阶系统 典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应函数为： y (t) = 1( )sin(dt+2) 这是一个以角频率d=n 作衰减振荡的函数。d称欠阻尼 固有角频率。按求极值的通用方法求得各振荡峰值所对应的时间 t=0，/d，2/d，将t=/d代入上式，可得最大超调量M和 阻尼比的关系式，即 或 测得M，可按上式或者与之相应的曲线图求阻尼比 。 如果测得的阶跃响应的过渡过程曲线较长，可利用任意两个超调 量Mi和Mn+i求阻尼比。设n为两个峰值相隔的周期数，Mi峰值所对 应的时间为ti，则Mi+n峰值所对应的时间为,二阶系统(1)的阶跃响应,M关系,将它们代入前述公式得,整理后得,式中， 。
26、 当 0.1时，用1代替 而不可能会产生过大的 误差(0.6)，则上式可写为 若系统是准确的二阶系统，则n值采用任意正整数所得的值不会有差别。反之，若n取不同的值，则可获得不同的值，这表明该系统不是线性二阶系统。,频域测定法 利用正弦信号激励，可得传感器的幅频特性，如图所示，然后 根据这两个特性曲线可求得一阶系统时间常数、二阶系统的固有频 率n和阻尼比 。 对于一阶系统，由幅频特性渐近线 )与高频渐近线倍频)交点处，向下作垂线，此垂线与幅频特性相交处的A()=0.707，与横坐标的相交点处=1/，由此得到=1/ 。 对于二阶系统，利用对二阶系统幅频特性求极值的方法
27、可得 r = n 根据上式和二阶系统的幅频响应可得： Ar= 当=0时，A()=A0=1，因此 Ar/A0=,由一阶系统幅频特性求时间常数,二阶系统(1)的幅频特性,5） 实现不失真测量的条件 任何测量系统都希望灵敏度较高、频率响应特性好、响应快和时间 滞后小，但全面满足这些要求困难而又矛盾。 动态测量首先要求实现不失真。为此系统必须是一个单向环节， 且其频响特性满足在允许误差范围内为线性系统的条件。系统输出y(t) 和输入x(t)之间，其幅值成比例增大(或衰减)，其相位仅滞后(或超前) 一个时间，其关系式为 式中 A。和均为常数。 此式表明：该系统的输出波形精确地与 输入波形相似，但对应的输出
28、与输入的 瞬时值放大了A0倍和滞后了一个时间。 因此说，输出无失真地复现了输入，也 即实现了不失真测量。,不失真输出与输入,对上式取傅里叶变换得： 所以，实现不失真测量的系统频率响应应满足： ， 实现不失真测量的测量系统的频响特性应满足: 测量系统在整个工作频率范围内，幅频特性为常数。这 样各次谐波分量的幅值同倍数地增大或衰减。 测量系统的相频特性为一过原点的直线。这样各次谐波 分量的相移正比于各次谐波分量的频率。 注意：满足上述条件时，输出仍滞后于输入一定的时间。当测量结 果用作反馈控制信号时，不允许输出滞后输入，要求检测系统的相 频特性为零，即 。 另外，实际被测信号的频带宽度有限。因此，
29、只要求在被测信 号的频带范围内，系统的频率特性在允许误差范围内满足上述要求即 可，而在不需要的频带内，幅频特性最好为零，以避免其他信号干扰。,2.4 传感器的互换性及其他特性*,互换性 传感器的互换性指它被同样的传感器替换时，不需对其尺寸及参 数做调整，仍可保证误差不超过规定范围。大规模生产的全部过程测控用 的传感器此特性尤显重要，互换性可确保生产线很短的停产时间。 理论上传感器的互换性可经过控制制造工艺和材料性能来保证， 但实际上对高精度传感器很难做到。为了能互换，批量生产的传感器 各项性能指标应完全一致。 由于同一种传感器的制造工艺和采取的材料是相同的，需要保证 的通常仅为输出特性的一致性。传感器的零位一般可调，所需控制的 指标仅为灵敏度的一致性，问题也就变为传感器灵敏度的控制。只要 在构成传感器的任一环节设置一个调整灵敏度的环节就可实现互换。 一般在传感器的电系统中设置调整环节最为方便，如对传感器输出端 设置一分压网络。有时还需对输入、输出阻抗来控制。,传感器的其他特性指标,静、动态特性并不能完全描述传感器的性能。下表给出除在选择传感器 时应考虑的传感器与被测量有关的另一些特性。除那些传感器特性外，测量 方法也须始终适合于应用。例如，测流量时，如果插入流量计会引起误差。,*传感器的静态特性和动态特性必须与被测量的要求相适合,
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